東京医科歯科大学
2012年 医学部 第3問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第3問
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関数f(x)=x^3-x^2+xについて，以下の各問いに答えよ．(1)f(x)はつねに増加する関数であることを示せ．(2)f(x)の逆関数をg(x)とおく．x＞0について\sqrt[3]{x}-1＜g(x)＜\sqrt[3]{x}+1が成立することを示せ．(3)b＞a＞0について0＜∫_a^b\frac{1}{x^2+1}dx＜1/aが成立することを示せ．(4)自然数nについて，(2)で定義されたg(x)を用いてA_n=∫_n^{2n}\frac{1}{{g(x)}^3+g(x)}dxとおくとき，極限値\lim_{n→∞}A_nを求めよ．
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