東京医科歯科大学
2010年 理系 第2問

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  4. 2010年 - 理系 - 第2問
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座標空間において，8点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(0,1,1)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，G(1,1,1)をとり，この8点を頂点とする立方体をQとする．また点P(x,y,z)と正の実数tに対し，6点(x+t,y,z)，(x-t,y,z)，(x,y+t,z)，(x,y-t,z)，(x,y,z+t)，(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をα_t(P)，その外部の領域をβ_t(P)で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．(1)0＜t≦1のとき，Qとα_t(O)の共通部分Q∩α_t(O)の体積をtで表せ．(2)Q∩β_1(O)∩β_1(D)∩β_1(E)∩β_1(F)の体積を求めよ．(3)1/2＜t≦1のとき，Q∩α_t(O)∩α_t(A)の体積をtで表せ．(4)tが0＜t≦1の範囲で変化するとき，Q∩α_t(O)∩β_t(A)∩β_t(B)∩β_t(C)の体積が最大となるtの値を求めよ．
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