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座標空間において,8点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(0,1,1),E(1,0,1),F(1,1,0),G(1,1,1)をとり,この8点を頂点とする立方体をQとする.また点P(x,y,z)と正の実数tに対し,6点(x+t,y,z),(x-t,y,z),(x,y+t,z),(x,y-t,z),(x,y,z+t),(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をα_t( P ),その外部の領域をβ_t( P )で表す.ただし,立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする.このとき以下の問いに答えよ.(1)0<t≦1のとき,Q∩β_t( O )∩β_t( D )∩β_t( E )∩β_t( F )の体積,すなわち5個の領域Q,β_t( O ),β_t( D ),β_t( E ),β_t( F )の共通部分の体積をtで表せ.(2)Q∩α_1( O )∩β_1( A )∩β_1( B )∩β_1( C )の体積を求めよ.(3)0<t≦1のとき,Q∩β_t( O )∩β_t( A )∩β_t( B )∩β_t( C )∩β_t( D )∩β_t( E )∩β_t( F )∩β_t( G )の体積をtで表せ.
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