岩手大学
2011年 人文社会科学 第3問

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  4. 2011年 - 人文社会科学 - 第3問
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次の文章について，後の問いに答えよ．\\\地球温暖化問題に関して，二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている．2008年に日本で開かれたサミットでは，42年後の2050年までに，年当たりの排出量を2008年のときと比較して50%以上削減する，という目標が提言された．この目標を達成するために，前年比同率で削減することを考える．\\2008年における排出量をa(a＞0)とし，毎年，前年のd×100%(0＜d＜1)を減らすこととする．2008年の1年後の2009年の排出量の目標は[\bfア]である．2008年からn年後の年間排出量をa_nとおくと，a_n=[イ]である．目標を達成するにはa_{42}≦a/2，つまり，dを用いた式で表せば，[ウ]≦1/2が成り立てばよい．両辺の逆数をとれば\frac{1}{[ウ]}≧2となる．ところで，不等式(1+d)^{42}＜\frac{1}{[ウ]}・・・・・・\maru{1}が成り立つことがわかる．従って，(1+d)^{42}≧2\qquad\qquad・・・・・・\maru{2}を満たすdを見つければ目標を達成することは明らかである．不等式\maru{2}の左辺は，二項定理により(1+d)^{42}=Σ_{r=0}^{42}[エ]と表される．これを用いると，\underline{d=0.02は不等式\maru{2}を満たす}ことがわかる．つまり，毎年2%の削減を2009年から行ったとすれば，42年後の2050年の排出量は2008年の50%未満となることがわかった．(1)文章中の[ア]～[エ]に当てはまる式を答えよ．(2)0＜d＜1とするとき，不等式\maru{1}を証明せよ．(3)下線部の命題を証明せよ．(4)毎年2%の削減を行った場合でも，42年間の排出量の合計は，削減率を0のまま2008年と同じ排出量を同じ期間続けたときの排出量の合計の7/12倍より大きくなることを証明せよ．
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