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大きさの同じN個の正方形を,図1のように左端からつめて高さを3段までに並べる.このとき,各段の正方形の数はその1つ下の段の正方形の数以下とする.例えば,N=4の場合,図2のように4通りの並べ方がある.(1)上のような並べ方は,N=5のとき[ノ]通り,N=6のとき[ハ]通り,N=7のとき[ヒ]通りである.(2)高さが2段までの並べ方は,Nが偶数のとき,(\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ])通り,Nが奇数のとき,(\frac{[マ]}{[ミ]}N+\frac{[ム]}{[メ]})通りである.(3)N=6n(nは自然数)のとき,高さが3段までの並べ方を考える.3段目の正方形がm個であるような並べ方がa_m通りあるとする.図1はN=12,m=3のときの並べ方の一例である.mが偶数のとき,a_m=[モ]n+\frac{[ヤ]}{[ユ]}m+[ヨ]mが奇数のとき,a_m=[ラ]n+\frac{[リ]}{[ル]}m+\frac{[レ]}{[ロ]}である.したがって,N=6nのとき,高さが3段までの並べ方は全部で[ワ]n^2+[ヲ]n+[ン]通りである.(プレビューでは図は省略します)
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