上智大学
2012年 理工学部 第4問

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  4. 2012年 - 理工学部 - 第4問
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logxは自然対数，eは自然対数の底を表す．(1)a,bはe^{-1}＜a＜1,b＞0を満たす実数とする．曲線C:y=logxと直線ℓ:y=ax+bとが接しているとすると，b=[モ]loga+[ヤ]が成り立つ．このとき，曲線Cと3つの直線ℓ，x=1，x=eとで囲まれた図形の面積をS(a)とする．aがe^{-1}＜a＜1の範囲を動くときのS(a)の最小値は([ユ]e+[ヨ])log(\frac{e+[ラ]}{[リ]})+[ル]で与えられる．(2)kを正の定数とし，e^{-k}＜t＜1であるtに対して，f(t)=∫_0^k|e^{-x|-t}dxとおく．tがe^{-k}＜t＜1の範囲を動くときの関数f(t)の最小値をM(k)とおくと，M(k)=([レ]+e^P)^2,　ただし　P=\frac{[ロ]}{[ワ]}kとなる．このとき\lim_{k→+0}\frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]}である．
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