上智大学
2012年 法（法），外国語（フランス・イスパニア・ロシア） 第3問

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  4. 2012年 - 法（法），外国語（フランス・イスパニア・ロシア） - 第3問
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座標平面上の点(x,y)のうち，x,yがともに整数である点を格子点とよぶ．いま，格子点の集合Aを次のように定義する．A={(x,y)\;|\;x≧0,y≧0,16＜x^2+y^2≦36,x　と　y　は整数　}(1)Aの点は全部で[ム]個ある．(2)格子点上を1秒間に右または上に1動く点Pを考える．Pは原点から出発し，Aの点の1つに到達したら停止する．このとき，Pが到達できないAの点は全部で[メ]個ある．以下，Pが到達できるAの部分集合をA_0とする．(3)(2)で考えた点Pが右に動く確率と上に動く確率をともに1/2とする．また，各格子点におけるPの動きは，その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする．(i)原点からの経路の数が最も多いA_0の点はQ([モ],[ヤ])であり，PがQに到達する確率は\frac{[ユ]}{[ヨ]}である．(ii)原点からの経路の数がQの次に多いA_0の点は全部で[ラ]個あり，それらの点のいずれかでPが停止する確率は\frac{[リ]}{[ル]}である．(iii)PがA_0の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は\frac{[レ]}{[ロ]}秒である．
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