上智大学
2011年 理工学部 第2問

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  4. 2011年 - 理工学部 - 第2問
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底面の円の半径が3\;cm，高さが6\;cmの直円錐を考える．直円錐の頂点をP，底面の円の中心をQとし，線分PQを2:1に内分する点をOとする．底面の円の円周をC_1，Oを通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周をC_2とする．2点A，BがそれぞれC_1，C_2上を頂点Pから見て左回りに移動している．点Aの速さは3πcm/秒，点Bの速さはπcm/秒であり，時刻t=0において，3点P，B，Aは一直線上にあるとする．(1)Aの角速度は[コ]πラジアン/秒であり，Bの角速度は\frac{[サ]}{[シ]}πラジアン/秒である．ただし，Aの角速度とは，動径QAが1秒間に回転する角の大きさのことであり，Bの角速度とは，動径OBが1秒間に回転する角の大きさのことである．(2)線分ABの長さを時刻tの関数で表すと\sqrt{[ス]-[セ]cosπ/2t}cmである．(3)cos∠AOBを時刻tの関数で表すと\frac{[ソ]}{\sqrt{[タ]}}cosπ/2tである．(4)三角形AOBの面積を時刻tの関数で表すと\sqrt{[チ]-[ツ]cos^2π/2t}cm^2である．(5)3点A，O，Bを含む平面をSとする．Qを通り，Sと直交する直線をℓとし，ℓとSの交点をHとする．t=1/3のとき，線分QHの長さは\frac{[テ]}{[ト]}cmである．
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