上智大学
2015年 理工学部 第4問

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  4. 2015年 - 理工学部 - 第4問
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xyz空間において，xy平面上に4点A_1(1,0,0),B_1(0,1,0),C_1(-1,0,0),D_1(0,-1,0)を頂点とする正方形A_1B_1C_1D_1がある．0＜θ＜πとし，この正方形A_1B_1C_1D_1をxy平面上で原点を中心に角θだけ回転させた後でz軸の正の方向に2だけ平行移動した正方形をA_2B_2C_2D_2とする．動点P_1，P_2が，それぞれ点A_1，A_2から同時に出発し，正方形A_1B_1C_1D_1，A_2B_2C_2D_2の周上を，同じ速さで同じ向きに一周する．このとき，線分P_1P_2が動いてできる曲面と正方形A_1B_1C_1D_1，A_2B_2C_2D_2とで囲まれる立体をVとする．(1)線分P_1P_2の長さの最大値は\sqrt{[ト]+[ナ][き]}であり，線分P_1P_2の長さの最小値は\sqrt{[ニ]+[ヌ][く]}である．(2)0＜h＜2とするとき，平面z=hによる立体Vの断面は，一辺の長さが\sqrt{[ネ]+([ノ]h^2+[ハ]h)(1-[け])}の正方形であり，その一辺の長さはh=[ヒ]のとき最小である．(3)立体Vの体積は\frac{[フ]}{[ヘ]}+\frac{[ホ]}{[マ]}[こ]である．(4)θがπに限りなく近づくとき，立体Vの体積は\frac{[ミ]}{[ム]}に収束する．\begin{screen}[き]～[こ]の選択肢：(a)sinθ(b)cosθ(c)tanθ(d)sin^2θ(e)cosθsinθ(f)\frac{1}{sinθ}(g)\frac{1}{cosθ}(h)\frac{1}{tanθ}\end{screen}（プレビューでは図は省略します）
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