上智大学
2014年 経済（経済） 第3問

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  4. 2014年 - 経済（経済） - 第3問
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1から10までの数字を1つずつ書いた10枚のカードを数字の小さい順に左から右に並べる．この中から3枚を無作為に選び，いずれのカードも元の位置と異なる位置に置くという操作を考える．この操作を2回以上続けて行う場合，2回目以降はカードの並びを一番最初の状態に戻すことはせず，1回前の操作で置き換えられた状態から3枚を無作為に選ぶ．また，選んだ3枚のカードについて元の位置と異なる位置への置き方が複数あるとき，いずれの置き方も等しい確率で選ばれるものとする．置き換えの操作をn回続けて行ったとき，一番左のカードが10である確率をP_nで表す．(1)P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}である．(2)n回の操作の後で一番左のカードが10であり，(n+1)回目の操作の後も一番左のカードが10となる確率をP_nの式で表すと\frac{[フ]}{[ヘ]}P_nとなる．(3)n回の操作の後で一番左のカードが10ではなく，(n+1)回目の操作の後で一番左のカードが10となる確率をP_nの式で表すと\frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}となる．(4)P_{n+1}をP_nの式で表すとP_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]}となる．(5)P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]}(\frac{[ラ]}{[リ]})^n+\frac{[ル]}{[レ]}である．
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