上智大学
2017年 理工学部 第4問

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  4. 2017年 - 理工学部 - 第4問
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mを5以上の自然数とする．m個の点を平面にある円周上に等間隔に並べる．これらm個の点に，時計回りに順番に1,2,・・・,mと番号を付ける．以下，隣り合った点を時計回りに移動することを「進む」といい，反時計回りに移動することを「戻る」ということとする．例えば，点1から3つ進むと点4に移動し，点mから3つ進むと点3に移動し，点1から3つ戻ると点(m-2)に移動する．次の2つの操作を考える．（操作A）5つ進み，移動した点に白石を置く．（操作B）2つ戻り，移動した点に黒石を置く．ある人が点mを出発点として操作Aを行い，次に操作Bを行い，以下交互に操作Aと操作Bを繰り返し移動を続け，すべての点に石を置いたら操作を終了する．ただし，移動した点にすでに石が置かれている場合は，その石を取り除いて新たに石を置くものとする．(1)m=10のとき，[ミ]回石を置くと操作は終了する．終了したとき，最後にいる点の番号は[ム]であり，置かれている黒石は[メ]個である．(2)m=11のとき，[モ]回石を置くと操作は終了する．終了したとき，最後にいる点の番号は[ヤ]であり，置かれている黒石は[ユ]個である．(3)m=12のとき，番号[ヨ]，[ラ]，[リ]，[ル]の点には石が置かれず操作は終了しない．ただし，[ヨ]＜[ラ]＜[リ]＜[ル]である．(4)操作が終了しないための必要十分条件は，mが[レ]で割り切れることである．mが自然数nを用いてm=[レ]n+1と表されるとき，[ロ]n+[ワ]回石を置くと操作は終了し，終了したときに置かれている黒石は[ヲ]n+[ン]個である．
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