北里大学
2013年 理学部 第2問

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  4. 2013年 - 理学部 - 第2問
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次の文中の[ア]～[ホ]にあてはまる最も適切な数を答えなさい．放物線y=-x^2+1をC_1，またy=(x-t)^2+kt+1をC_2とする．ここでk＞0とし，tは任意の実数値をとるものとする．tの値が変化するに従い，C_2の頂点の軌跡はある直線になる．この直線をLとする．(1)k=1の場合を考える．このとき，直線Lの方程式は，y=[ア]x+[イ]である．またC_1およびLによって囲まれた部分の面積は\frac{[ウ]}{[エ]}である．(2)k=1/2の場合を考える．C_1とC_2がただ1つの点で接する場合，接点の座標は(x,y)=([オ],[カ])および(x,y)=(\frac{[キ]}{[ク]},\frac{[ケ]}{[コ]})である．C_1とC_2が2つの共有点をもつのは，[サ]＜t＜[シ]のときである．このとき，それらのx座標をα,β(α＜β)とすれば，α+β=[ス]t+[セ],αβ=\frac{[ソ]}{[タ]}t^2+\frac{[チ]}{[ツ]}t+[テ]である．また，C_1とC_2によって囲まれた部分の面積S(t)は，S(t)=\frac{1}{[ト]}([ナ]t^2+[ニ]t+[ヌ])^p,　ただし　p=\frac{[ネ]}{[ノ]}である．この面積はt=\frac{[ハ]}{[ヒ]}のとき最大値\frac{[フ]}{[ヘ][ホ]}をとる．
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