鹿児島大学
2013年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第5問

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  4. 2013年 - 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 - 第5問
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2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bcとおく．たとえば単位行列E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})に対しては\Delta(E)=1×1-0×0=1となる．またK=(\begin{array}{cc}2&3\5&7\end{array})に対しては\Delta(K)=2×7-3×5=-1となる．次の各問いに答えよ．(1)P=(\begin{array}{cc}0&1\2&3\end{array}),Q=(\begin{array}{cc}1&2\3&4\end{array})に対してR=PQとおく．\Delta(P),\Delta(Q),\Delta(R)を計算し，\Delta(R)=\Delta(P)\Delta(Q)が成り立つことを確かめよ．(2)すべての2次の正方行列A,Bに対して，C=ABとおくと\Delta(C)=\Delta(A)\Delta(B)が成り立つことを示せ．(3)X^2=(\begin{array}{cc}0&1\1&0\end{array})となる2次の正方行列Xですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ．(4)2次の正方行列Aに逆行列Bが存在したとする．AとBの成分がすべて整数ならば，\Delta(A)は1か-1のどちらかである．このことを示せ．
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