鹿児島大学
2013年 教育学部 第2問

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  4. 2013年 - 教育学部 - 第2問
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次の各問いに答えよ．(1)三角形ABCの垂心をHとする．次の等式が成り立つことを示せ．ベクトルHA・ベクトルHB=ベクトルHB・ベクトルHC=ベクトルHC・ベクトルHAただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わる．この点を三角形の垂心という．(2)次の(i),(ii)に答えよ．(i)自然数nに対して自然数a_nを次のように定義する．a_n=(2n-1)・(2n-3)・・・・・3・1このとき，すべての自然数kに対して(2k)!=2^kk!a_kが成り立つ．このことを証明せよ．(ii)すべての自然数nに対して，2^n!は2^{(2^n-1)}で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
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