山形大学
2014年 工学部 第4問

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  4. 2014年 - 工学部 - 第4問
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△A_1B_1Cは，B_1C=√2，∠B_1A_1C=π/2，∠A_1B_1C=θ(0＜θ＜π/2)を満たす．下図のように，点A_1から辺B_1Cに下ろした垂線をA_1B_2とし，点B_2から辺A_1Cに下ろした垂線をB_2A_2とする．次に，点A_2から辺B_1Cに下ろした垂線をA_2B_3とし，点B_3から辺A_1Cに下ろした垂線をB_3A_3とする．この操作を繰り返し，辺A_1C上に点A_2，A_3，A_4，・・・を，辺B_1C上に点B_2，B_3，B_4，・・・を定める．自然数nに対し，△A_nB_nB_{n+1}の面積をS_nとし，これらの面積の総和をT=Σ_{n=1}^∞S_nとする．このとき，次の問いに答えよ．（プレビューでは図は省略します）(1)S_1=sinθcos^3θ，S_2=sin^5θcos^3θを示し，一般項S_nを求めよ．(2)T=\frac{sinθcosθ}{1+sin^2θ}を示せ．(3)θが0＜θ＜π/2の範囲を動くとき，Tの最大値を求めよ．
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