関西大学
2011年 理系 第2問

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  4. 2011年 - 理系 - 第2問
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a,bを実数の定数とし，3つの行列A=(\begin{array}{rr}3&-2\a&1\end{array}),R=1/2(\begin{array}{rr}5&-4\6&-5\end{array}),Q=(\begin{array}{cc}1/2&0\0&b\end{array})はAR=QAを満たしている．次の[]をうめよ．AR=QAを満たすaの値は2つある．そのうち，Aが逆行列をもたないのは，a=[①]のときであり，このとき，b=[②]である．Aが逆行列A^{-1}をもつのは，a=[③]のときであり，このとき，A^{-1}=[④]，b=[⑤]である．nを2以上の自然数として，S_n=A+AR+AR^2+・・・+AR^{n-1}とおく．AR=QAであるから，S_nは実数x_n,y_nを用いてS_n=(\begin{array}{cc}x_n&0\0&y_n\end{array})Aと表される．a=[③]のときは，x_n=[⑥]，y_n=[④chi]である．したがって，Eを単位行列として，E+R+R^2+・・・+R^{n-1}=(\begin{array}{cc}p_n&q_n\r_n&s_n\end{array})とおくと，\lim_{n→∞}p_n=[\maruhachi]である．
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