慶應義塾大学
2012年 商学部 第2問

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  4. 2012年 - 商学部 - 第2問
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Oを原点とする座標空間において，4点A_1(1,1,1),B_1(-1,-1,1),C_1(1,-1,-1),D_1(-1,1,-1)を考えると，立体A_1B_1C_1D_1は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．(1)正四面体A_1B_1C_1D_1をxy平面に平行な平面z=-1+h(0≦h≦2)で切ったときに出来る図形の面積をS(h)とすると，S(h)=-[34]h^2+[35]hと表され，S(h)はh=[36]のとき最大値[37]をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，V_1=∫_0^2S(h)dh=\frac{[38]}{[39]}とおくと，V_1は正四面体A_1B_1C_1D_1の体積となっている．(2)三角形B_1C_1D_1，三角形C_1D_1A_1，三角形D_1A_1B_1，三角形A_1B_1C_1の重心をそれぞれA_2，B_2，C_2，D_2とする．このとき，立体A_2B_2C_2D_2は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，nを自然数として，三角形B_nC_nD_n，三角形C_nD_nA_n，三角形D_nA_nB_n，三角形A_nB_nC_nの重心をそれぞれA_{n+1}，B_{n+1}，C_{n+1}，D_{n+1}とする．このとき，ベクトルOA_1+ベクトルOA_2+・・・+ベクトルOA_n=\frac{[40]}{[41]}{1-(-\frac{[42]}{[43]})^n}ベクトルOA_1である．また，正四面体A_nB_nC_nD_nの表面積S_nと体積V_nは，それぞれ，S_n=[44]・[45]^{-[46]n+\frac{[47]}{2}},V_n=[48]・[49]^{-[50]n+[51]}である．
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