慶應義塾大学
2014年 医学部 第4問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第4問
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以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．三角形ABCにおいてAB=AC=1，∠BAC=2θとする．(1)三角形ABCの内接円C_1の半径をR_1(θ)とする．R_1(θ)をθの式で表すとR_1(θ)=[あ]である．またθを0＜θ＜π/2の範囲で変化させるときにR_1(θ)が最大値をとるようなθの値をθ_1とするとΣ_{k=1}^∞sin^kθ_1=[い]が成り立つ．(2)三角形ABCの内側に次のように円C_2，C_3，・・・，C_n，・・・を作る．円C_1の外側にあって円C_1および辺AB，ACに同時に接する円をC_2とし，円C_1，C_2の外側にあって円C_2および辺AB，ACに同時に接する円をC_3とする．以下同様に自然数n≧2に対して，円C_1，C_2，・・・，C_{n-1}の外側にあって円C_{n-1}および辺AB，ACに同時に接する円をC_nとする．C_nの半径R_n(θ)をθとnの式で表すとR_n(θ)=[う]である．(3)xの2次式g_n(x)=[え]に対して\frac{d}{dθ}logR_n(θ)=-\frac{g_n(sinθ)}{sinθcosθ}が成り立つ．またθを0＜θ＜π/2の範囲で変化させるときにR_n(θ)が最大値をとるようなθの値をθ_nとするとsinθ_n=[お]である．(4)\lim_{n→∞}nsinθ_n=[か]である．このことから，θ=θ_nのときの円C_nの面積S_nに対して\lim_{n→∞}n^2S_n=[き]が成り立つ．
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