慶應義塾大学
2014年 理工学部 第3問

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  4. 2014年 - 理工学部 - 第3問
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a_1=0，a_{n+1}=log(a_n+e)(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{a_n}の収束について調べたい．以下の問いに答えなさい．(1)方程式x=log(x+e)はx＞0の範囲でただ1つの実数解βをもつことを証明しなさい．(2)すべての自然数nについて0≦a_n＜βが成り立つことを証明しなさい．(3)0＜a＜bのときlogb-loga＜\frac{b-a}{a}が成り立つことを証明しなさい．(4)すべての自然数nについてβ-a_{n+1}＜1/e(β-a_n)が成り立つことを証明し，これを用いて\lim_{n→∞}a_n=βを示しなさい．
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