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以下の[ト],[ナ],[ニ]には三角関数はsinθとcosθのみを用いて記入し,[ヌ]にはxの式,[ネ]にはyの式を記入すること.座標平面上の2点(1,0),(0,1)を結ぶ曲線Cが媒介変数θを用いて{\begin{array}{l}x=f(θ)\y=g(θ)\end{array}.(0≦θ≦π/2)と表されているとする.いま,関数f(θ),g(θ)は0≦θ≦π/2で連続,0<θ<π/2で微分可能かつf´(θ)≠0であるとする.また0<θ<π/2のとき,点(f(θ),g(θ))における曲線Cの接線の傾きが-tanθであり,この接線からx軸,y軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で1であるとする.まず,この曲線Cの方程式を求めたい.0<θ<π/2のとき,曲線C上の点(f(θ),g(θ))における接線をy=-(tanθ)x+h(θ)と表すとh(θ)=[ト]となる.この接線の傾きが\frac{g´(θ)}{f´(θ)}となることより,f(θ)=[ナ],g(θ)=[ニ]となる.したがって,曲線Cをx,yの方程式で表すと[ヌ]+[ネ]=1(x≧0,y≧0)となる.次に,点(f(θ),g(θ))における曲線Cの法線をℓ(θ)とする.θ≠π/4のときℓ(θ)とℓ(π/4)との交点のx座標をX(θ)とすると,\lim_{θ→π/4}X(θ)=[ノ]となる.また,曲線Cとx軸,y軸で囲まれた部分の面積は[ハ]である.
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