慶應義塾大学
2012年 薬学部 第1問

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  4. 2012年 - 薬学部 - 第1問
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次の問の[1]～[39]に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（-）をマークしなさい．(1)(ax+\frac{2}{a^2x})^{10}を展開したところ，x^2の項の係数は560であった．ただしa＞0とする．このとき，aの値は\sqrt{[1]}であり，x^{-6}の項の係数は\frac{[2][3]}{[4][5][6]}である．(2)関数f(x)=log_axがあり，以下に示す①と②は共通の解をもつ．{\begin{array}{lr}f(x)+f(x-3)=4&・・・・・・①\f(3x^2-16x+20)-f(x-2)=2&・・・・・・②\end{array}.(i)f(2\sqrt[4]{6})-f(\sqrt[8]{6\sqrt{72}})の値は\frac{[7][8]}{[9]}である．(ii)y=f(x)上の点Pと点A(-4,8)を結んだ線分APを1:3に内分する点の軌跡は，底をa^4とする対数関数y=log_{a^4}xのグラフをx軸正方向に[10][11]，y軸正方向に[12]平行移動したグラフとなる．(3)三角形ABCにおいて，3辺の長さはAB=2a+1，BC=2a，CA=aであり，cos∠BAC=11/24である．ただしa＞0とする．(i)内積ベクトルAB・ベクトルACは\frac{[13][14]}{[15]}である．(ii)辺ABを1:3に内分する点をQ，辺CAの垂直二等分線と線分CQ，辺CAとの交点をそれぞれP，Rとおく．このときベクトルAPをベクトルABとベクトルACを用いて表すと，ベクトルAP=\frac{[16][17]}{[18][19]}ベクトルAB+\frac{[20][21]}{[22][23]}ベクトルACである．(4)下図のように，4行4列の計16個のマス目をつくり，さらに太線でそれぞれ2行2列からなる4つの区画に分ける．それぞれのマス目に1から4までの数字を1つずつ書き込む．ただし，以下の3つの条件を全て満たすものとする．\mon[①]各行には1,2,3,4が1回ずつあらわれる．\mon[②]各列には1,2,3,4が1回ずつあらわれる．\mon[③]各区画には1,2,3,4が1回ずつあらわれる．数字の書き込み方は全部で[24][25][26]通りある．(5)関数f(x)=-2/3(8^x+8^{-x})+10(4^x+4^{-x})-24(2^{x+1}+2^{-x+1})+84がある．(i)2^x+2^{-x}=5のときf(x)の値は\frac{[27]}{[28]}である．(ii)2^x+2^{-x}=tとおいたとき，f(t)=kの解tがただ1つであるような定数kの値の範囲は\frac{[29]+[30]\sqrt{[31]}}{[32]}＜k≦\frac{[33][34]}{[35]},k＜\frac{[36]-[37]\sqrt{[38]}}{[39]}である．
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