慶應義塾大学
2015年 総合政策学部 第3問

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道路によって4つの区画に区分されている次ページの地形の町を考える.図の各線分は道路を表す.各区画は道路に囲まれた辺の長さが1kmの正方形である.Kさんは(0,0)から,Oさんは(2,2)からそれぞれ出発して,道路を移動する.KさんもOさんも1km移動するには1/4時間かかる.KさんとOさんは,同時に出発し,初めて出会った地点で移動を停止する.ただし,KさんとOさんはつぎのルールにしたがって移動する.\begin{itemize}Kさんの移動ルール:\Kさんは(0,0)から出発し(2,2)に向かって北または東に移動する(両方向に移動できる場合,いずれかの方向を1/2の確率で選択する).Oさんに出会う前に(2,2)に到達したら,(2,2)から再出発し(0,0)に向かって南または西に移動する.これをOさんに出会うまで繰り返す.Oさんの移動ルール:\\Oさんは(2,2)から出発し(0,0)に向かって南または西に移動する(両方向に移動できる場合,いずれかの方向を1/2の確率で選択する).Kさんに出会う前に(0,0)に到達したら,(0,0)から再出発し(2,2)に向かって北または東に移動する.これをKさんに出会うまで繰り返す.\end{itemize}(1)出発してt時間後の時点を時刻tとよぶ.KさんとOさんが時刻1/2に出会うことができる地点は,(0,2),(2,0),(1,1)であり,それらの地点で初めて出会う確率は順に\frac{[29]}{[30][31]},\frac{[32]}{[33][34]},\frac{[35]}{[36][37]}である.(2)KさんとOさんが出会うことができる時刻は1/2,3/2,5/2,・・・であり,それらの時刻で初めて出会う確率は,順に3/8,\frac{[38][39]}{64},\frac{[40][41]}{[42][43][44]},・・・である.(3)時刻2までに出会えない場合,出会うことをあきらめ,両者とも時刻2で移動を停止するとしよう.このとき,両者が移動を停止するまでにかかる時間の期待値は\frac{[45][46][47]}{[48][49][50]}となる.(4)時刻2を過ぎてもあきらめずに移動し続けるとしよう.時刻12まで移動を続けても,両者が出会えない確率は(\frac{[51]}{[52]})^{12}となる.
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