慶應義塾大学総合政策学部 2015年問題4

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$ある村では公共サービスXとYを提供している．提供されたXの量をx，Yの量をyで表わす．技術的条件や予算の制約によって(x,y)が実現するのはx,yがつぎの不等式をみたすときである．\begin{array}{l}x+y≦200\x+5y≦790\phantom{\frac{[]}{2}}\3x+4y≦720\phantom{\frac{[]}{2}}\x,y≧0\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}(x,y)が実現する領域は5角形であり，その5頂点は(0,0)，(200,0)，(0,158)およびA([53][54][55],[56][57][58])，B(80,[59][60][61])である．現在，一般の村民はxyが最大になることを望んでおり，一方，村の有力者一族はx+10yが最大になることを望んでいる．村長はxとyを自由に選ぶことができるが，両方の意向を尊重してαxy+(1-α)(x+10y)(0＜α＜1)を最大化する方針をとった．仮に，α=1/3ならば村長の選択は(x,y)=([62][63],[64][65][66])となる．村長は最大化のために選択すべき点を線分AB上にとることにした．しかし，予算上端点AもBも選択することが認められないことがわかった．すると，αは\frac{[67][68]}{[69][70][71]}＜α＜\frac{[72][73]}{133}の範囲に限定される．$