慶應義塾大学
2015年 商学部 第3問

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  4. 2015年 - 商学部 - 第3問
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M社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，M社の醸造計画を考えてみよう．栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，q=a-bxという単純な式で表されるとする．ここで，xはワインの醸造量（リットル），qはワインの品質の高さを表すM社が独自に定めた指標とし，aとbは正の実数とする．また，変数xのとり得る値の範囲は，xとqがともに正の値となる範囲とする．醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格をp（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，p=cq^2で表されると仮定する．ただし，cは正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．M社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量をxと決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標がqとなるワインを作り，その全量（すなわちx）を品質の指標qに応じた価格pで販売し，売上高y=px（円）を得る．(1)売上高は，x=\frac{[69]}{[70]}・a/b　（リットル）　のとき，最大値\frac{[71]}{[72][73]}・\frac{ca\!\!\!\raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{74}}}{b}　（円）　をとる．(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数m（リットル）で表す．xの取り得る値の範囲には，xがm以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を\overline{y}で表し，それを与える醸造量を\overline{x}で表す．\overline{x}はmの関数であるので，これを\overline{x}=f(m)で表す．関数f(m)の定義域を0＜m＜a/bとして，この関数のグラフを描きなさい．同様に，\overline{y}もmの関数であるので，これを\overline{y}=g(m)で表す．関数g(m)の定義域を0＜m＜a/bとして，この関数のグラフを描きなさい．
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