慶應義塾大学
2015年 経済学部 第3問

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  4. 2015年 - 経済学部 - 第3問
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実数θは-π/2≦θ≦π/2を満たすとする．O(0,0,0)を原点とする座標空間の3点A(cos^2θ,sinθ,1+sin^2θ),B(sinθ,0,-sinθ),C(1,cos2θ-cos^2θ,1)に対し，それぞれベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．(1)ベクトルbは零ベクトルではないとする．4点O，A，B，Cが同一平面上にあるならば，θ=\frac{[27][28]}{[29]}πである．次にθ=π/6とし，以下このときの3点A，B，Cを考える．また，3点O，B，Cの定める平面をαとする．(2)点Pはα上の点で，|ベクトルAP|が最小になるものとする．このとき，ベクトルAP・ベクトルb=[30],ベクトルAP・ベクトルc=[31]が成り立つ．また，ベクトルOPをベクトルb，ベクトルcを用いて表すとベクトルOP=\frac{[32][33]}{[34]}ベクトルb+\frac{[35][36]}{[37][38]}ベクトルcとなる．ただし，ベクトルu,ベクトルvはベクトルベクトルuとベクトルvの内積を表す．(3)三角形OBCの面積は1/8\sqrt{\frac{[39][40]}{[41]}}であり，|ベクトルAP|=\sqrt{\frac{[42]}{[43][44]}}なので，四面体OABCの体積は\frac{[45]}{[46]}となる．
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