慶應義塾大学
2015年 医学部 第3問

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  4. 2015年 - 医学部 - 第3問
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以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．p,qを正の実数として，曲線Cをx^{1/p}+y^{1/q}=1(0≦x≦1,0≦y≦1)により定義する．(1)曲線Cの方程式をyについて解いて得られる関数をy=f(x)(0≦x≦1)とおく．y=f(x)のグラフが0＜x＜1において変曲点をもつためにはp,qが条件[あ]を満たすことが必要十分である．(2)曲線Cとx軸，y軸で囲まれた図形の面積をS(p,q)とすると，S(1,q)=[い]であり，p＞1ならばS(p,q)とS(p-1,q+1)の間にはS(p,q)=[う]S(p-1,q+1)の関係がある．p,qがともに自然数であるときにS(p,q)をp,qの式で表すとS(p,q)=[え]である．(3)p=q=3のとき，直線ℓ:x+y=αが曲線Cと2点を共有するための必要十分条件は[お]＜α≦1である．この条件が成り立つとき，直線ℓと曲線Cの交点P，Qのx座標をx_1,x_2とするとx_1^{1/3}x_2^{1/3}=[か]かつ(x_1^{1/3}-x_2^{1/3})^2=[き]である．さらにα_0=[お]とおくとき\lim_{α→α_0+0}\frac{PQ^2}{α-α_0}=[く]が成り立つ．
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