慶應義塾大学
2015年 経済学部 第6問

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  4. 2015年 - 経済学部 - 第6問
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a,b,cを実数とする．xの関数F(x)=x^3+ax^2+bx+cはx=αで極大になり，x=βで極小になるとする．曲線y=F(x)上の点B(β,F(β))における接線をℓとし，ℓとy=F(x)の共有点のうちBと異なるものを(γ,F(γ))とする．(1)xの整式F(x)-F(β)を，β,γを用いて1次式の積に因数分解された形で表せ．(2)γをα,βのみを含む式で表せ．必要ならばxの整式で表される関数p(x)，q(x)とそれらの導関数に関して成り立つ公式{p(x)q(x)}´=p´(x)q(x)+p(x)q´(x)を用いてもよい．(3)f(x)=F´(x)とする．直線x=γ，x軸，および曲線y=f(x)で囲まれた図形のうちy≧0となる部分の面積Sを，α,βのみを含む式で表せ．さらに，a-b≧3/2が成り立つとき，Sの最小値を求めよ．
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