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次の問いに答えよ.(1)整式P(x)は実数を係数にもつxの3次式であり,x^3の係数は1である.P(x)をx-7で割ると8余り,x-9で割ると12余る.方程式P(x)=0はa+biを解に持つ.a,bは1桁の自然数であり,iは虚数単位とする.ただしa,bの組み合わせは,2a+bが連続する2つの整数の積の値と等しくなるもののうち,a-bが最大となるものとする.このとき,(i)整式P(x)を(x-7)(x-9)で割ると,余りは[1]x-[2]である.(ii)a=[3],b=[4]であり,方程式P(x)=0の実数解は[5]である.(2)xy平面上に曲線C_1:y=-x^2-x+8がある.C_1上の動点Aを点(1,2)に関して対称移動した点Bの軌跡をC_2とする.C_1とC_2の2つの交点P,Qのx座標をそれぞれα,β(α<β)とし,また,C_1,C_2と直線x=kとの交点をそれぞれR,Sとする.ただし,kはα<k<βを満たす実数とする.このとき,(i)C_2の方程式はy=x^2-[6]x+[7]である.(ii)三角形QRSの面積はk=\frac{[8]}{[9]}で最大となる.(3)xy平面上に,原点Oを中心とする単位円Cと,y軸の正の部分を始線として点Oを中心に回転する2つの動径L_1,L_2がある.円CとL_1,L_2との交点をそれぞれP,Qとする.動径L_1,L_2の表す角をそれぞれθ_1,θ_2とおき,θ_1=2πt,θ_2=-πtとする.ただしtは,t≧0を満たす実数である.このとき,(i)点Pと点Qが一致するtのうち,t=0を除く最小のtの値は\frac{[10]}{[11]}である.(ii)点Pのy座標と点Qのy座標の和の最小値は\frac{[12][13]}{[14]}である.(4)直角三角形AOB(∠AOB={90}°)に内接する半径rの円の中心をPとする.辺ABと円の接点をQとし,線分AQの長さをa,線分BQの長さをbとする.三角形AOBに対して,自然数l,m,n(n<m<l)は,lベクトルOP+mベクトルAP+nベクトルBP=ベクトル0を満たす.このとき,(i)三角形AOBの3辺の長さの合計は[15]a+[16]b+[17]rである.(ii)l=17のとき,m=[18][19],n=[20]であり,a/b=\frac{[21]}{[22][23]}である.
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