慶應義塾大学
2016年 理工学部 第4問

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  4. 2016年 - 理工学部 - 第4問
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iを虚数単位とする．次の事実がある．\begin{waku}[事実F]a,bを互いに素な正の整数とする．このとき，(cos2a/bπ+isin2a/bπ)^k=cos2/bπ+isin2/bπとなる整数kが存在する．\end{waku}(1)等式(cos4/5π+isin4/5π)^k=cos2/5π+isin2/5πを満たす最小の正の整数kは[ツ]である．(2)a,bを互いに素な正の整数とし，集合PをP={z\;\bigg|\;　zは整数kを用いて　(cos2a/bπ+isin2a/bπ)^k　と表される複素数　}で定める．事実Fを考慮すると，集合Pの要素の個数n(P)は[テ]である．(3)事実Fを証明しなさい．(4)a_1,b_1を互いに素な正の整数とし，a_2,b_2も互いに素な正の整数とする．集合Q_1とQ_2をQ_1={z\;\bigg|\;　zは整数kを用いて　(cos\frac{2a_1}{b_1}π+isin\frac{2a_1}{b_1}π)^k　と表される複素数　}Q_2={z\;\bigg|\;　zは整数kを用いて　(cos\frac{2a_2}{b_2}π+isin\frac{2a_2}{b_2}π)^k　と表される複素数　}で定め，集合RをR={z\;\bigg|\;　zは集合Q_1の要素と集合Q_2の要素の積で表される複素数　}で定める．b_1とb_2が互いに素ならば，集合Rの要素の個数n(R)は[ト]である．b_1とb_2が互いに素でないとき，それらの最大公約数をdとすれば，集合Rの要素の個数n(R)は[ナ]である．
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