慶應義塾大学商学部 2016年問題4

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$3つの袋A，B，Cがある．袋Aには，1から7までの番号が書かれた玉がそれぞれ2個ずつ，計14個入っている．また，袋B，袋Cには何も入っていない．以下，番号iが書かれた玉を「玉i」と呼ぶことにする．袋Aから無作為に玉を1個取り出して袋Bに入れる．ここで袋Bに入れられた玉を玉iとするとき，玉i-1，玉i，玉i+1のうち袋Aに入っているものをそれぞれ1個ずつ取り出して袋Cに入れる．この一連の操作を繰り返す．例えば，1回目の操作の最初に玉7が袋Bに入れられたとする．このとき，袋Aには玉6と玉7は入っているが，玉8は入っていないので，玉6と玉7が1個ずつ袋Aから袋Cに移される．以上で1回目の操作が終わり，袋Aに玉1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6の計11個が入った状態で2回目の操作を始める．(1)1回目の操作で玉4が袋Bに入れられたとき，2回目の操作で玉5が袋Bに入れられる確率は\frac{[43]}{[44][45]}である．(2)1回目の操作で玉2が袋Bに入れられ，かつ2回目の操作で玉1が袋Bに入れられる確率は\frac{[46]}{[47][48]}である．1≦i＜j≦7を満たす整数i,jに対し，2回の操作を行った後に袋Bに玉iと玉jが入っている事象をB_{i,j}とし，事象B_{i,j}の確率をP(B_{i,j})で表す．(3)P(B_{1,2})=1/7×\frac{[49]}{11}+1/7×\frac{[50]}{10}=\frac{[51]}{110}である．同様に，P(B_{1,3})=\frac{[52]}{[53][54]},P(B_{1,7})=\frac{[55]}{[56][57]},P(B_{2,3})=\frac{[58]}{[59][60]},P(B_{2,4})=\frac{[61]}{[62][63]}である．(4)\comb{7}{2}個の事象B_{1,2},B_{1,3},・・・,B_{6,7}のうち，起こる確率がP(B_{1,2})であるものは[64]個，P(B_{1,3})であるものは[65]個，P(B_{1,7})であるものは[66]個，P(B_{2,3})であるものは[67]個，P(B_{2,4})であるものは[68]個である．(5)3回の操作の後，袋Bに入っている玉の番号が全て偶数となる確率は\frac{[69]}{[70][71]}である．$