慶應義塾大学
2016年 医学部 第2問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第2問
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以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．三角形ABCの頂点上に置かれた点Pに対する次の操作Tを考える．\begin{waku}[操作T]\setlength{skip}{3mm}\mon[(T1)]点Pが頂点A上に置かれているときは，確率1/2でそのままにしておき，確率1/2で頂点B上に移す．\mon[(T2)]点Pが頂点B上に置かれているときは，確率1/2でそのままにしておき，確率1/2で頂点C上に移す．\mon[(T3)]点Pが頂点C上に置かれているときは，必ず頂点A上に移す．\end{waku}以下n,mを自然数とし，点Pを頂点A上に置いて，操作Tを繰り返し行う．操作Tをn回繰り返し終えたとき，点Pが頂点A上に置かれている確率をa_n，頂点B上に置かれている確率をb_n，頂点C上に置かれている確率をc_nとする．(1)n≧2のときa_n,b_n,c_nをa_{n-1},b_{n-1},c_{n-1}で表すと{\begin{array}{l}a_n=[あ]a_{n-1}+[い]c_{n-1}\phantom{\frac{[]}{[]}}\b_n=[う]a_{n-1}+[え]b_{n-1}\phantom{1/1}\c_n=[お]b_{n-1}+[か]c_{n-1}\phantom{\frac{[]}{[]}}\\end{array}.である．(2)(1)よりa_n,b_nを求めると，a_{2m-1}=[き]，b_{2m-1}=[く]であり，a_{2m}=[け]，b_{2m}=[こ]である．(3)操作Tをn回繰り返し終えたとき初めて点Pが頂点C上に置かれる確率をd_nとすると，d_n=[さ]である．(4)操作Tをn回繰り返し終えたとき点Pが頂点AまたはBの上に置かれ，かつそれまでに1回だけ頂点C上に置かれていた確率をe_nとすると，e_n=[し]である．
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