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以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また設問(3)に答えなさい.時間tとともに座標平面上を動く点P(t)は次の条件(i)をみたすとする.(i)P(t)は原点をとおらず,その偏角θ(t)および原点からの距離r(t)はtについて微分可能,かつr(0)=1であり,さらにθ´(t)=1が成り立つ.(1)動点P(t)の座標を(x(t),y(t))とし,時刻tにおけるP(t)の速度ベクトルベクトルv(t)=(dx/dt,dy/dt)とベクトルベクトルb(t)=(cosθ(t),sinθ(t))のなす角をα(t)とする.このときcosα(t)をr(t)を用いて表すとcosα(t)=[あ]である.(2)動点P(t)がさらに次の条件(ii)をみたすとする.(ii)すべてのtに対してα(t)=π/4である.このときr(t)=[い]である.(3)条件(i),(ii)をみたす2つの動点P_1(t),P_2(t)の間に次の条件(iii)が成り立つとする.ただし動点P_1(t),P_2(t)それぞれの偏角をθ_1(t),θ_2(t),原点からの距離をr_1(t),r_2(t)とし,速度ベクトルをベクトルv_1(t),ベクトルv_2(t)とする.(iii)すべてのtに対してベクトルベクトルv_1(t)とベクトルベクトルv_2(t)は垂直である.このとき時刻sからuの間に動点P_2(t)がその軌道に沿って動く道のりをl(s,u)とするとl(s,u)=|\overrightarrow{P_1(u)P_2(u)|}-|\overrightarrow{P_1(s)P_2(s)|}が成り立つことを示しなさい.ただしs<uとする.
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