慶應義塾大学
2017年 経済学部 第2問

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  4. 2017年 - 経済学部 - 第2問
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tの関数f(t)は定数関数でないとし，すべての実数α,βに対して次を満たすとする．f(α)≧1,2f(α)f(β)=f(α+β)+f(α-β)(1)f(0)=[10]であり，f(2α)=[11]{f(α)}^2+[12][13]が成り立つ．(2)方程式x+1/x=2f(α)を満たすxを考える．等式x^2+\frac{1}{x^2}=(x+1/x)^2+[14][15]を用いると，x^2+\frac{1}{x^2}=[16]f([17]α)となることがわかる．(3)さらに，等式x^3+\frac{1}{x^3}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x+1/x)+[18][19](x+1/x)を用いると，x^3+\frac{1}{x^3}=[20]f([21]α)となることがわかる．(4)(2)，(3)より，一般に，自然数nに対してx^n+\frac{1}{x^n}=[22]f([23]nα)・・・・・・①が成り立つと推測される．この推測が正しいことを次のように確かめる．n=1,2,3のとき①は成り立つ．3以上の自然数kに対して，n=k-1およびn=kのとき①が成り立つと仮定すると，等式x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=(x^k+\frac{1}{x^k})(x+1/x)+[24][25](x^{k-1}+\frac{1}{x^{k-1}})より，x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=[26]f([27](k+[28])α)が成り立つことがわかる．よって，n=k+1のときにも①は成り立つ．\mon[(5)]S_n=f(0)+Σ_{k=1}^{n-1}f(kα)(n=2,3,4,・・・)とする．f(α)＞1のとき，S_n=\frac{1+[29][30]f(α)+[31][32]f((n-1)α)+[33][34]f(nα)}{[35]{1-f(α)}}となる．
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