慶應義塾大学
2017年 薬学部 第1問

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  4. 2017年 - 薬学部 - 第1問
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以下の問の[1]～[31]にあてはまる適切な数字またはマイナス符号（-）をマークしなさい．(1)xとyは方程式log_27+log_{1/2}(y+5)=2-log_2(x+2)を満たす．(i)y=3のとき，x=\frac{[1][2]}{[3]}である．(ii)xとyが整数で，不等式1000＜2^{y-x}＜5000を満たすとき，x=[4][5]，y=[6][7]である．(2)xy平面上に円O:x^2+y^2=9と円C:(x-5√2)^2+y^2=4，点(a,a)を中心とする円Pがある．円Oは円Pに内接し，円Cは円Pに外接する．また，円Oと円Cの共通接線のうち，2つの接点のy座標がいずれも負となるものを接線ℓとする．ただし，aはa＞0とする．このとき，(i)a=\frac{[8]\sqrt{[9]}}{[10]}である．(ii)接線ℓの方程式はy=\frac{[11]}{[12]}x-\frac{[13][14]\sqrt{[15]}}{[16]}であり，接線ℓが円Pによって切り取られる線分の長さは[17]である．(3)自然数の列1,2,3,4,5,6,7,8,9,・・・から3の倍数と5の倍数を除いて得られる数列を{a_n}とおく．ただし，nは自然数とする．このとき，(i)a_5=[18]，a_{10}=[19][20]，a_{k+8}=a_k+[21][22]である．(ii)Σ_{n=1}^ma_n＞2000を満たす最小のmの値は[23][24]である．(4)2次方程式x^2+ax+b=0は2つの実数解-k,-k+4をもち，2次方程式x^2+bx+a=0は少なくとも1つの正の実数解をもつ．ただし，kは自然数とする．このとき，(i)a,bをkの式で表すと，a=[25]k-[26]，b=k^2-[27]kである．(ii)a+bの値が最大のときb=[28][29]であり，a+bの値が最小のときb=[30][31]である．
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