慶應義塾大学
2017年 商学部 第2問

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  4. 2017年 - 商学部 - 第2問
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A社は工場F_{A}で商品P_{A}を製造している．商品P_{A}の製造費用を表す変数は，製造量xの関数であるとする．この関数をc(x)で表す．以下の分析を容易にするため，c(x)は区間x≧0を定義域とする関数とし，c(0)=0とする．また，正の実数uに対して，関数c(x)のx=uにおける微分係数が定まるとし，その値をx=uにおける限界費用といい，m(u)で表す．さらに，a(x)=\frac{c(x)}{x}と定め，正の実数uに対して，a(u)をx=uにおける平均費用という．ここで，m(x)=x^2-8x+17\qquad・・・①であることがわかったとする．(1)区間x＞0において，限界費用が最小となる製造量をx_mで表すとx_m=[14]であり，平均費用が最小となる製造量をx_aで表すとx_a=[15]である．(2)∫_{x_m}^{x_a+1}|m(x)-a(x)|dx=\frac{[16][17]}{[18]}である．(3)この問いでは，限界費用m(x)を特定する式①は仮定しないことにする．その場合でも，ある\overline{x}＞0に対して，平均費用a(x)が区間0＜x≦\overline{x}において単調に減少するならば，すなわち，0＜u＜v≦\overline{x}ならばa(u)＞a(v)となるならば，x_1+x_2≦\overline{x},x_1＞0,x_2＞0を満たす任意のx_1,x_2に対して，c(x_1+x_2)＜c(x_1)+c(x_2)となることを証明せよ．(4)B社は工場F_{B}で商品P_{A}と同等な商品P_{B}を製造している．商品P_{B}の製造費用は，商品P_{A}の製造費用と同じであるとする．すなわち，B社における商品P_{B}の製造費用は，製造量xの関数c(x)で定まる．ここで，A社がB社を買収したとし，商品の製造はA社が工場F_{A}ですべてまとめて行うこととする．（商品が同等なので，工場F_{A}で製造した商品P_{A}をB社の顧客に提供しても何ら問題はない．また，このとき，工場F_{B}における製造量は0になる．）買収前と比較して，製造を集約することによって両社合わせた製造費用が節約される度合いを求めてみよう．買収時点での商品P_{A}と商品P_{B}の製造量を，それぞれu_1とu_2(u_1＞0,u_2＞0)とする．このとき，節約される費用は，再び，限界費用m(x)に対して式①を仮定すると，u_1u_2([イ])となる．（もしこの値が負となる場合は，製造費用は節約ではなく追加されることになる．）
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