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点Oを原点とする座標空間に2つの平面π_1とπ_2がある.平面π_1の方程式は,x-2y+3z+1=0であり,平面π_2の方程式は,3x+4y-7z-5=0である.そして,平面π_1とπ_2の交線をℓとする.(1)ある点の原点Oを基準とする位置ベクトルベクトルp_0=(1,[19],[20])と,方向ベクトルベクトルv=(1,[21],[22])を用いると,ベクトルp=ベクトルp_0+tベクトルvは直線ℓのベクトル方程式である.ここで,ベクトルpは直線ℓ上の点の原点Oを基準とする位置ベクトルで,tは実数である.(2)点A(2,-8,3)を中心とする球面Sを考える.球面Sと直線ℓが1点のみを共有するとき,その共有点の座標は([23],[24][25],[26][27])である.また,球面Sと直線ℓが異なる2点を共有し,その2つの共有点と点Aを頂点とする三角形の面積が24\sqrt{35}であるとき,その2つの共有点の座標は,([28][29],[30][31][32],[33][34][35])と([36],[37][38],[39])である.(3)直線ℓはx軸に平行な平面π_3とy軸に平行な平面π_4の交線でもある.このとき,平面π_3の方程式は[ウ]=0であり,平面π_4の方程式は[エ]=0である.(これらの方程式はできる限り簡単な形にせよ.)
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