慶應義塾大学
2012年 商学部 第1問

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  4. 2012年 - 商学部 - 第1問
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次の空欄に当てはまる数字を書け．(1)Aの袋には赤玉1個と黒玉15個，Bの袋には黒玉16個が入っている．それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出して交換する，という試行をn回繰り返したとき，赤玉がAの袋に入っている確率をp_nとする．ただし，nは自然数である．例えば，p_1=\frac{[1][2]}{[3][4]},p_2=\frac{[5][6][7]}{[8][9][10]}である．p_{n+1}をp_nで表すと，p_{n+1}=\frac{[11]}{[12]}p_n+\frac{[13]}{[14][15]}となるので，これよりp_n=\frac{[16]}{[17]}{1+(\frac{[18]}{[19]})^n}と求まる．(2)赤玉7個，白玉10個，青玉n個が入った袋から，同時に4個の玉を取り出すとき，それらが赤玉1個，白玉2個，青玉1個である確率をq_nとする．ただし，nは自然数である．\frac{q_{n+1}}{q_n}をnの式で表すと，\frac{q_{n+1}}{q_n}=\frac{n^2+[20][21]n+[22][23]}{n^2+[24][25]n}となる．これよりn\leq[26]の範囲でq_n＜q_{n+1}が成り立ち，また，n\geq[27]の範囲でq_n＞q_{n+1}が成り立つことがわかる．従って，q_nはn=[28]で最大値\frac{[29][30]}{[31][32][33]}をとる．
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