慶應義塾大学
2015年 理工学部 第3問

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  4. 2015年 - 理工学部 - 第3問
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0＜θ_n＜1(n=1,2,3,・・・)となる数列{θ_n}を用いて，閉区間[0,1]から始めて，以下のようにしていくつかの閉区間を残す操作を繰り返す．ただし，a＜bとするとき，開区間(a,b)の長さは閉区間[a,b]の長さと等しくb-aである．1回目の操作では，閉区間[0,\frac{1-θ_1}{2}]と[\frac{1+θ_1}{2},1]を残す．残った閉区間の個数をk_1，各閉区間の長さをr_1とおき，s_1をs_1=k_1r_1と定める．k_1=2，r_1=\frac{1-θ_1}{2}，s_1=1-θ_1である．n+1回目の操作では，n回目の操作を終えて残ったk_n個の長さr_nの各閉区間から長さθ_{n+1}r_nの閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を2個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数をk_{n+1}，各閉区間の長さをr_{n+1}とおき，s_{n+1}をs_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}と定める．(1)\lim_{n→∞}r_n=[サ]である．(2)θ_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)}(n=1,2,3,・・・)のとき，\lim_{n→∞}s_n=[シ]である．(3)0＜θ＜1とし，θ_n=θ(n=1,2,3,・・・)とする．n=1,2,3,・・・に対して，閉区間[0,1]を定義域とする連続関数f_n(x)と実数a_nが次の条件を満たすとする．\mon[条件：]f_n(0)=0でf_n(1)=1である．関数f_n(x)は，n回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で{f_n}´(x)=0となり，n回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で{f_n}´(x)=a_nとなる．このときa_nをθとnを用いて表すとa_n=[ス]となる．関数y=f_n(x)(0≦x≦1)のグラフは折れ線になり，その長さをl_nとおくと，\lim_{n→∞}l_n=[セ]となる．
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