北九州市立大学
2014年 国際環境工 第3問

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  4. 2014年 - 国際環境工 - 第3問
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S_n=1-1/2+1/3-・・・+\frac{(-1)^{n-1}}{n}(n=1,2,3,・・・)と定義する．以下の問いに答えよ．(1)x≠-1のとき，\frac{1}{x+1}=Σ_{k=0}^{n-1}(-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}が成立することを証明せよ．(2)n=1,2,3,・・・のとき，不等式-\frac{1}{n+1}≦∫_0^1\frac{(-x)^n}{x+1}dx≦\frac{1}{n+1}が成立することを証明せよ．(3)S_n=Σ_{k=0}^{n-1}∫_0^1(-x)^kdxが成立することを証明せよ．(4)\lim_{n→∞}S_nを求めよ．
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