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xy平面上の原点Oと3次関数f(x)=x^3-6x^2+15xと1次関数g(x)=3axを考える.ただし,aは定数である.また,関数y=f(x)のグラフでx≧0を満たす部分を曲線Cとする.曲線y=f(x)上の点をP(p,f(p))とし,点Pにおける曲線y=f(x)の接線をℓとする.ただし,p≧0を満たす.以下の問題に答えよ.(1)関数f(x)が単調に増加することを示せ.(2)直線ℓの傾きが最小となるとき,pの値と直線ℓの式を求めよ.(3)関数y=g(x)のグラフが曲線Cと異なる3点で交わるとき,aの値の範囲を求めよ.(4)aの値は(3)で求めた範囲を満たすとする.x≧0の範囲で関数f(x)-g(x)が最小となるとき,xをaを用いて表せ.(5)点Pが原点Oと一致する場合に,接線ℓが曲線Cと原点以外で交わる点をQとおき,曲線C上において原点Oと点Qの間に点Rをとる.△ORQの面積が最大となるとき,点Rの座標と△ORQの面積を求めよ.
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