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次の文中の[ア]~[ノ]にあてはまる最も適切な数値を答えなさい.(1)2以上のある自然数を出発点とし,それに対して次の操作を繰り返して行い,1に到達したら終了とする.\begin{itemize}偶数は2で割り,3以上の奇数は1を足す\end{itemize}この操作によって,自然数2は1回の操作(2→1)で1に変換される.同様に,3は3回(3→4→2→1),4は2回(4→2→1)の操作で1に変換される.このような変換操作は,下図のように1を起点として枝分かれする樹形図によって整理することができる.(プレビューでは図は省略します)n回の操作で1になる自然数の個数をX_nとすれば,1回の操作で1になる自然数は2のみであるのでX_1=1,2回で1となる自然数は4のみでありX_2=1となる.3回で1となる自然数は,1回の操作で4になる3と8の2つがあるのでX_3=2となる.4回で1となる自然数は,[ア],16,6の3つでX_4=3,同様にして,X_5=[イ]であることがわかる.n回の操作で1になる偶数の個数をE_n,奇数の個数をO_nと書くと,X_n,E_n,O_nの間にX_n=E_n+O_nが成立する.E_{n+1}をE_nとO_nで表すと,E_{n+1}=[ウ]E_n+[エ]O_nとなる.またn≧2の場合には,O_{n+1}をE_nとO_nで表すと,O_{n+1}=[オ]E_n+[カ]O_nとなる.これらの2つの漸化式をまとめて,X_nの漸化式を求めるとX_{n+2}=[キ]X_{n+1}+[ク]X_nとなる.X_1=1,X_2=1だったので,X_{10}=[ケ][コ]と求めることができる.X_nの漸化式を解くことを考える.次の2次方程式を考えよう.x^2-[キ]x-[ク]=0この方程式の2つの解をα,βと書くと,α=\frac{[サ]+\sqrt{[シ]}}{[ス]},β=\frac{[サ]-\sqrt{[シ]}}{[ス]}である.解と係数の関係α+β=[セ],αβ=[ソ]を用いることにより,X_nの漸化式はX_{n+2}-αX_{n+1}=β(X_{n+1}-αX_n)およびX_{n+2}-βX_{n+1}=α(X_{n+1}-βX_n)と書き直すことができる.したがって漸化式は,X_{n+2}-αX_{n+1}=β^n(X_2-αX_1)およびX_{n+2}-βX_{n+1}=α^n(X_2-βX_1)と解くことができる.これらからX_{n+2}を消去すれば,X_{n+1}が得られる.(2)数列{a_n},n=1,2,・・・,の間には次の漸化式a_{n+2}=1/2a_{n+1}+1/2a_nが成立し,a_1=1/2,a_2=3/4であるとする.この漸化式を解くために,(1)の解法を用い,次の2次方程式を考える.x^2+\frac{[タ]}{[チ]}x+\frac{[ツ]}{[テ]}=0この2次方程式の2つの解をα,βと書き,(1)と同様に漸化式を書き直せば,a_{n+2}-βa_{n+1}=α(a_{n+1}-βa_n)およびa_{n+2}-αa_{n+1}=β(a_{n+1}-αa_n)であることが分かり,これらから一般項a_nはa_n=\frac{[ト]}{[ナ]}+\frac{[ニ]}{[ヌ]}(\frac{[ネ]}{[ノ]})^nであることが分かる.
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詳細情報

大学(出題年) 北里大学(2016)
文理 未設定
大問 3
単元 ()
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難易度 未設定

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