神戸大学
2017年 理系 第3問

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  4. 2017年 - 理系 - 第3問
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1辺の長さがa_0の正四面体OA_0B_0C_0がある．図のように，辺OA_0上の点A_1，辺OB_0上の点B_1，辺OC_0上の点C_1から平面A_0B_0C_0に下ろした垂線をそれぞれA_1A_1´，B_1B_1´，C_1C_1´としたとき，三角柱A_1B_1C_1-A_1´B_1´C_1´は正三角柱になるとする．ただし，ここでは底面が正三角形であり，側面が正方形である三角柱を正三角柱とよぶことにする．同様に，点A_2，B_2，C_2，A_2´，B_2´，C_2´，・・・を次のように定める．正四面体OA_kB_kC_kにおいて，辺OA_k上の点A_{k+1}，辺OB_k上の点B_{k+1}，辺OC_k上の点C_{k+1}から平面A_kB_kC_kに下ろした垂線をそれぞれA_{k+1}A_{k+1}´，B_{k+1}B_{k+1}´，C_{k+1}C_{k+1}´としたとき，三角柱A_{k+1}B_{k+1}C_{k+1}-A_{k+1}´B_{k+1}´C_{k+1}´は正三角柱になるとする．辺A_kB_kの長さをa_kとし，正三角柱A_kB_kC_k-A_k´B_k´C_k´の体積をV_kとするとき，以下の問に答えよ．(1)点Oから平面A_0B_0C_0に下ろした垂線をOHとし，θ=∠OA_0Hとするとき，cosθとsinθの値を求めよ．(2)a_1をa_0を用いて表せ．(3)V_kをa_0を用いて表し，Σ_{k=1}^{∞}V_kを求めよ．（プレビューでは図は省略します）
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