高知大学
2014年 理学部・医学部 第4問

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  4. 2014年 - 理学部・医学部 - 第4問
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kは1以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた2^k-1枚のカードが1組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．(i)カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．(ii)ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．(iii)当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，(i)に戻って繰り返す．このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値をE_kとおく．このとき，次の問いに答えなさい．(1)E_1,E_2,E_3,E_4を求めよ．(2)E_{k+1}をE_kを用いて表せ．(3)d_k=E_k-1/{2^{k}}(E_k+1)とおくとき，d_kのみたす漸化式を求めよ．(4)E_kを求めよ．(5)\lim_{k→∞}(E_k-k)を求めよ．ただし，\lim_{k→∞}k/{2^{k}}=0であることを用いてもよい．
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