高知大学
2011年 理学部・医学部 第2問

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  4. 2011年 - 理学部・医学部 - 第2問
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nを2以上の自然数とする．平面上に距離が1である2点O，P_0がある．中心がOで半径1の円周上に点P_k(k=1,2,・・・,n)を反時計回りに∠　P　_k　OP　_0=\frac{kπ}{n}となるようにとる．三角形P_kOP_{k-1}の面積をT_kと表し，S_n=Σ_{k=1}^nT_kとおく．このとき，次の問いに答えよ．(1)S_2を求めよ．(2)S_nをnで表せ．(3)\lim_{n→∞}S_nを求めよ．(4)e_kを線分P_{k-1}P_kの長さとおいて，E_n=Σ_{k=1}^ne_kとする．このとき，S_n=1/2E_nsin\frac{(n-1)π}{2n}を示せ．(5)\lim_{n→∞}E_nを求めよ．
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