高知工科大学
2010年 理系 第4問

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  4. 2010年 - 理系 - 第4問
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rとθを-1＜r＜1,0≦θ＜2πを満たす定数とする．行列A=r(\begin{array}{rr}cosθ&-sinθ\\sinθ&cosθ\end{array})，E=(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array})に対して，次の各問に答えよ．(1)行列E-Aは逆行列を持つことを証明し，(E-A)^{-1}を求めよ．(2)全ての自然数nについてA^n=r^n(\begin{array}{rr}cosnθ&-sinnθ\\sinnθ&cosnθ\end{array})が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ．(3)nを2以上の自然数とする．(E+A+・・・+A^{n-1})(E-A)を簡単な式にせよ．(4)次の極限値を求めよ．①\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{n-1}r^kcoskθ②\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{n-1}r^ksinkθ
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