杏林大学
2013年 医学部 第2問

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  4. 2013年 - 医学部 - 第2問
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動点P，Q，Rは，時刻t=0においてすべて点A(3,0)にあり，原点O(0,0)を中心とする半径3の円周上を反時計まわりに移動する．時刻tにおいて∠AOP=t，∠AOQ=2t，∠AOR=3tである．以下，tは0＜t＜πを満たすものとする．(1)時刻tにおいて，三角形PQRの面積Sは，S=[ア]sint-\frac{[イ]}{[ウ]}sin([エ]t)と表わせる．面積Sはt=\frac{[オ]}{[カ]}πのとき最大値\frac{[キク]}{[ケ]}\sqrt{[コ]}をとる．(2)点Rから直線PQに下ろした垂線の足をHとする．時刻tにおいて，行列(\begin{array}{cc}cos3/2t&sin3/2t\-sin3/2t&cos3/2t\end{array})で表わされる1次変換により，点Hは(3cos(\frac{[サ]}{[シ]}t),3sin(\frac{[ス]}{[セ]}t))に移動する．OH^2はcost=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}を満たす時刻tにおいて最大値[チ]+[ツ]\sqrt{[テ]}をとる．(3)時刻tの変化にともない，線分PRの中点が描く軌跡をCとする．点Oを極とし，半直線αベクトルOA(α≧0)を始線としたとき，曲線Cの極方程式は，極座標(r,θ)を用いてr=[ト]cos(\frac{[ナ]}{[ニ]}θ)と表わされる．
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