杏林大学
2013年 医学部 第4問

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  4. 2013年 - 医学部 - 第4問
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[オ]，[タ]，[チ]，[ト]，[ナ]の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．条件a_1=0，a_2=0と漸化式a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^nlog_2\frac{(n+1)^2}{n}・・・・・・(*)(n=1,2,3,・・・)で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．(1)漸化式(*)より，ベクトルベクトルb_n=(\begin{array}{c}a_{n+1}\a_n\end{array})に対してベクトルb_{n+1}=Aベクトルb_n+(\begin{array}{c}2^nlog_2\frac{(n+1)^2}{n}\0\end{array})が成立する．ただし，行列AはA=(\begin{array}{cc}[ア]&[イウ]\[エ]&0\end{array})である．この式の両辺に，Aの逆行列A^{-1}を左からn回かけると(A^{-1})^nベクトルb_{n+1}=(A^{-1})^{n-1}ベクトルb_n+(A^{-1})^n(\begin{array}{c}2^nlog_2\frac{(n+1)^2}{n}\0\end{array})となり，(A^{-1})^{n-1}ベクトルb_nの階差数列がわかる．これより，2以上の整数nに対し，(A^{-1})^{n-1}ベクトルb_{n}=ベクトルb_1+Σ_{k=1}^{[オ]}(A^{-1})^k(\begin{array}{c}2^klog_2\frac{(k+1)^2}{k}\0\end{array})・・・・・・(**)を得る．(2)(**)式の右辺第一項はベクトルb_1=(\begin{array}{c}[カ]\[キ]\end{array})であり，A^{-1}=1/2(\begin{array}{cc}[ク]&[ケ]\[コサ]&[シ]\end{array})は行列P=(\begin{array}{cc}2&1\1&1\end{array})を用いてA^{-1}=P(\begin{array}{cc}\frac{[ス]}{[セ]}&0\0&[ソ]\end{array})P^{-1}と表されるので，(**)式右辺の和の項について，次式が成立する．Σ_{k=1}^{[オ]}(A^{-1})^k(\begin{array}{c}2^klog_2\frac{(k+1)^2}{k}\0\end{array})=P(\begin{array}{c}log_2[タ]\-2^nlog_2[チ]\end{array})(3)(2)の結果と，行列Aが同じPを用いてA=P(\begin{array}{cc}[ツ]&0\0&[テ]\end{array})P^{-1}と表わされることに注意すると，(**)式の両辺に行列Aを左から(n-1)回かけて得られるベクトルb_nから，一般項a_nはa_n=2^{[ト]}log_2[ナ]（n=2,3,4,・・・）となる．[オ]，[ト]の解答群\begin{array}{llll}\nagamaruichin-1&\nagamarunin&\nagamarusann+1&\nagamarushi1-n\\nagamarugo-n&\nagamaruroku-n-1\phantom{AA}&\nagamarushichi\frac{n(n+1)}{2}\phantom{AA}&\nagamaruhachin^2-1\\nagamarukyu1/6n(n+1)(2n+1)&&&\end{array}[タ]，[チ]，[ナ]の解答群\begin{array}{llll}\nagamaruichin-1&\nagamarunin&\nagamarusan\frac{n+1}{n}\phantom{AA}&\nagamarushi\frac{4n-6}{n}\\nagamarugon^2-4n+5&\nagamaruroku(n-1)!\phantom{AA}&\nagamarushichin!\phantom{AA}&\nagamaruhachin!-1\\nagamarukyu(n-1)×n!\phantom{AA}&\nagamarurein×n!&&\end{array}
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