杏林大学医学部 2017年問題1

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$[\bfア],[\bfケ]の解答は該当する解答群の中から最も適当なものをそれぞれ1つずつ選べ．3人の力士A，B，Cが下記巴戦のルールに従い相撲をとり，優勝者を決める．\begin{itemize}1回目の取り組みは力士AとBが対戦する．nを2以上の自然数として，n回目の取り組みは，n-1回目の取り組みの勝者と，その取り組みに参加していなかった力士が対戦する．2連勝した力士を優勝とし，優勝者が決定した時点で巴戦は終了とする．\end{itemize}1回の取り組みで，力士AがBに勝つ確率は1/2，BがCに勝つ確率はp，CがAに勝つ確率は1-pであり，相撲の勝負に引き分けはないものとして，以下の問いに答えよ．(1)3回目の取り組み終了時点で優勝者が決まらない場合，4回目の取り組みは[\bfア]である．6回目の取り組みで力士Cが優勝する確率は，p=\frac{[\bfイ]}{[\bfウ]}のとき最大値\frac{[\bfエオ]}{[\bfカキク]}をとる．何回かの取り組みを行って力士Aが優勝する確率をα，力士Bが優勝する確率をβとすると[\bfケ]．(2)p=1/3のとき，3回目の取り組みで力士Cが優勝する確率は\frac{[\bfコ]}{[\bfサ]}であり，何回かの取り組みを行って力士Cが優勝する確率は\frac{[\bfシ]}{[\bfス]}となる．(3)3人の力士が優勝する確率が等しくなるのは$