京都工芸繊維大学
2013年 工芸科学 第3問

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  4. 2013年 - 工芸科学 - 第3問
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aを正の定数とし，mを自然数とする．xy平面上の2曲線C_1:y=ax^2(x≧0)，C_2:y=(logx)^{m}(x≧1)および点Pは次の条件を満たしている．C_1とC_2はPを通り，PにおけるC_1の接線とPにおけるC_2の接線は一致する．(1)aの値およびPのx座標をmを用いて表せ．(2)関数f(x)=\frac{(logx)^m}{x^2}(x≧1)の最大値を求め，x≧1において不等式ax^2≧(logx)^mが成り立つことを示せ．(3)自然数nに対して，不定積分∫(logx)^ndxをI_nとおく．n≧2のとき，部分積分法により，I_nをI_{n-1}を用いて表せ．(4)m=2のとき，C_1,C_2およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
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