京都工芸繊維大学
2012年 工芸科学 第2問

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xyz空間内に四面体PABCがある.△ABCはxy平面内にある鋭角三角形とし,頂点Pのz座標は正とする.Pからxy平面に下ろした垂線をPHとし,Hは△ABCの内部にあるとする.Hから直線AB,BC,CAに下ろした垂線をそれぞれHK_1,HK_2,HK_3とする.そのときPK_1⊥AB,PK_2⊥BC,PK_3⊥CAである.∠PK_1H=α_1,∠PK_2H=α_2,∠PK_3H=α_3とし,△PAB,△PBC,△PCAの面積をそれぞれS_1,S_2,S_3とする.(1)△HABの面積をα_1,S_1を用いて表せ.(2)3つのベクトルベクトルl_1,ベクトルl_2,ベクトルl_3は,大きさがそれぞれS_1,S_2,S_3であり,向きがそれぞれ平面PAB,平面PBC,平面PCAに垂直であるとする.ただし,ベクトルl_1,ベクトルl_2,ベクトルl_3のz成分はすべて正とする.このとき,ベクトルl_1+ベクトルl_2+ベクトルl_3のz成分は△ABCの面積に等しいことを示せ.(3)3辺AB,BC,CAの長さの比AB:BC:CAを,α_1,α_2,α_3,S_1,S_2,S_3を用いて表せ.
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